Pembahasan OSP fisika 2024 | OSN 2024

Solusi OSP Fisika SMA 2024

Oleh: www.fisikasekolahmadrasah.blogspot.com

Informasi berikut mungkin bermanfaat bagi Anda:

√2 = 1.414; √3 = 1.732; √5 = 2.232; √7 = 2.646; √11 = 3.317; √13 = 3.606; √17 = 4.123

\[ \int \frac{dθ}{\sin θ} = -\ln \left( \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} \right) + C \]

\[ \int \frac{dx}{a + b \cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{a^2 - b^2} \tan(x/2)}{a + b} \right) + C \]

\[ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

\[ \frac{d}{dt} \cosh(at) = a \sinh(at), \quad \frac{d}{dt} \sinh(at) = a \cosh(at) \]

Soal Nomor 1: Batang Uniform di Atas Lantai Kasar

Bagian (a)

Dikarenakan kecepatan titik A selalu konstan serta arah gaya F selalu tegak lurus batang, maka batang ini dalam keadaan setimbang "statik" sambil tetap bergerak slip terhadap lantai. Artinya, resultan gaya pada batang serta resultan torsinya haruslah bernilai nol.

\[ F = \mu mg \frac{2z}{L} \]

\[ F(z + s) = \mu mg \frac{L^2 + 4z^2}{4L} \]

Substitusi \( F \) dari hasil sebelumnya:

\[ \mu mg \frac{2z}{L} (z + s) = \mu mg \frac{L^2 + 4z^2}{4L} \] \[ 8z^2 + 8sz = L^2 + 4z^2 \] \[ 4z^2 + 8sz - L^2 = 0 \] \[ z = \frac{-8s \pm \sqrt{64s^2 + 16L^2}}{8} \] \[ z = -s \pm \sqrt{s^2 + \frac{L^2}{4}} \] \[ z = \sqrt{s^2 + \frac{L^2}{4}} - s \]

Bagian (b)

Substitusi kembali \( z \) ke \( F \):

\[ F = \mu mg \frac{2}{L} \left( \sqrt{s^2 + \frac{L^2}{4}} - s \right) \]

Soal Nomor 2: Silinder Pejal Homogen

Bagian (a)

Dari hubungan kecepatan benda A dengan kecepatan tangensial:

\[ v_0 = \frac{dℓ}{dt} = \frac{dθ}{dt} R \] \[ dt = \frac{ℓ}{v_0} dθ \]

Panjang tali total \( ℓ_0 \) konstan:

\[ ℓ_0 = ℓ + Rθ \] \[ ℓ = ℓ_0 - Rθ \] \[ dℓ = -R dθ \] \[ dt = -\frac{1}{v_0 R} ℓ dℓ \]

Integralkan dari saat awal sampai tali seluruhnya terlilit:

\[ T = \frac{ℓ_0^2}{2 v_0 R} \]

Bagian (b)

Gaya-gaya yang bekerja pada silinder:

\[ N_d = \frac{\mu mg}{\mu^2 + 1} \] \[ N_l = \frac{mg}{\mu^2 + 1} \] \[ f_d = \frac{\mu^2 mg}{\mu^2 + 1} \] \[ f_l = \frac{\mu mg}{\mu^2 + 1} \]

Torsi hambat pada silinder:

\[ \alpha = \frac{2g}{R} \frac{\mu^2 + \mu}{\mu^2 + 1} \]

Jumlah putaran silinder:

\[ n = \frac{ω_0^2 R}{8πg} \frac{\mu^2 + 1}{\mu^2 + \mu} \]

Soal Nomor 3: Bejana Air Berotasi

Bagian (a)

Permukaan air membentuk cekungan parabola:

\[ \tan θ = \frac{ω^2 r}{g} \] \[ \frac{dh}{dr} = \frac{ω^2 r}{g} \] \[ h(r) = h_0 + \frac{ω^2}{2g} r^2 \]

Bagian (b)

Tekanan di dasar bejana:

\[ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} ρω^2 r^2 \]

Bagian (c)

Daya yang dihasilkan gaya viskos:

\[ P = \frac{ηω^2 πR^4}{2h} \approx 45.2 \text{ Watt} \]

Soal Nomor 4: Brachistochrone

Bagian (a)

Waktu tempuh dari O ke B:

\[ t = \sqrt{\frac{a}{g}} \cos^{-1}\left(1 - \frac{h}{a}\right) \]

Bagian (b)

Titik terendah B saat θ = π:

\[ a = \frac{1}{2}h \] \[ t = π\sqrt{\frac{h}{2g}} \] \[ \text{Posisi B: } (πa, -h) \]

Subbagian (i)

Lintasan garis lurus:

\[ t_l = \sqrt{\frac{h(π^2 + 4)}{2g}} \] \[ t_l > t \text{ karena } \sqrt{π^2 + 4} > π \]

Subbagian (ii)

Lintasan horizontal-vertikal:

\[ t_{ll} = \left(2 + \frac{π}{2}\right)\sqrt{\frac{h}{2g}} \] \[ t_{ll} > t \text{ karena } 2 + \frac{π}{2} > π \]

Bagian (c)

Persamaan gerak dalam parameter ψ:

\[ 2a\ddot{ψ}(1 + \cos ψ) - a\dot{ψ}^2 \sin ψ + g \sin ψ = 0 \]

Bagian (d)

Waktu tempuh sampai posisi terendah selalu sama:

\[ t' = π\sqrt{\frac{a}{g}} \]

Bagian (e)

Gerak titik P pada roda:

\[ x(t) = R\left(\frac{v}{R}t - \sin\left(\frac{v}{R}t\right)\right) \] \[ y(t) = R\left(1 - \cos\left(\frac{v}{R}t\right)\right) \]

Soal Nomor 5: Model Gaya Hambat dalam Cairan

Bagian (a)

Sudut hamburan α:

\[ α = \cos^{-1}\left(\frac{(M - m)u^2 + (M + m)v^2}{2Muv}\right) \]

Bagian (b)

Sudut hamburan maksimum:

\[ α_{maks} = \sin^{-1}\left(\frac{m}{M}\right) \] \[ v = \sqrt{\frac{M - m}{M + m}} u \]

Bagian (c)

Persamaan lintasan benda M:

\[ R(θ) = C \cos θ \] \[ r = \frac{M}{2ρπr^2} \]

Bagian (d)

Kecepatan benda m:

\[ v(φ) = u e^{-\frac{φ}{2}} \]

Massa M dapat berbalik arah saat φ = π

Soal Nomor 6: Partikel Pada Kawat Berotasi

Bagian (a)

Komponen kecepatan partikel:

\[ v_x = -hω\sin(ωt) + v_q\sin(ωt) + qω\cos(ωt) \] \[ v_y = hω\cos(ωt) - v_q\cos(ωt) + qω\sin(ωt) \]

Bagian (b)

Energi mekanik partikel:

\[ E = \frac{1}{2}m(h^2ω^2 + v_q^2 + q^2ω^2 - hωv_q) + mg(h\sin(ωt) - q\cos(ωt)) \]

Bagian (c)

Percepatan partikel:

\[ a_q = qω^2 + g\cos(ωt) \]

Bagian (d)

Solusi persamaan gerak:

\[ q(t) = \frac{g}{2ω^2}(\cosh(ωt) - \cos(ωt)) \]

Soal Nomor 7: Dua Bola Kecil dan Batang

Bagian (a)

Posisi pusat massa sistem:

\[ r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} L \] \[ r_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} L \]

Momen inersia sistem:

\[ I_{pm} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} L^2 \]

Kecepatan sudut ketika \( m_1 \) lepas kontak:

\[ \omega = \sqrt{\frac{4g}{5L}} \]

Rasio massa:

\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{7}{32} \]